正数数列{an}中,a1=b,a(n+1)=1/a*（an）²,求通项公式an.我想问下,{an}是不是表示常

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**正数数列{an}中,a1=b,a(n+1)=1/a*（an）²,求通项公式an.我想问下,{an}是不是表示常**

2022-09-28 12:02:45 8次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

正数数列{an}中,a1=b,a(n+1)=1/a（an）²,求通项公式an.
我想问下,{an}是不是表示常数列,也就是数列中的项不变.还有,a(n+1)=1/a（an）²中等号右边的n是不是等于等号左边的n+1.搞不懂、

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

首先明确,a(n+1)=1/a*（an）²中的n和n+1都是表示坐标.
最好写成a = (1/a) *a² 这样就清楚了.
其中,a 和 a 是表示数列{an}中任意相邻的两项.
由a = (1/a) *a²得
a = b
a = (1/a)*b² = a*(b/a)²
a = (1/a)*【a*(b/a)²】² = a*(b/a)^4
a = (1/a)*【a*(b/a)^4】² = a*(b/a)^8
由此猜想,n=k时（k∈N）,a = a*(b/a)^[2^(k -1)] ←即,a乘以 (b/a)的[2^(k -1)] 次方
当n=k+1时,
a = (1/a) *【a*(b/a)^[2^(k -1)]】²
= (1/a)*a² *【(b/a)^[2^(k -1)]】²
= a * (b/a)^[2^(k+1 -1)]
∴当n=k+1时,原猜想也成立
所以有,对于任意n∈N,a = a*(b/a)^[2^(n -1)]恒成立.
即数列{an}的通项公式为 a = a*(b/a)^[2^(n -1)]

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