已知椭圆C：x216+y29=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．

2022-06-18 21:51:29 17次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

设弦中点为M（x，y），交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．
∴（y₂-y₁）（x-1）=（x₂-x₁）（y-2），①
由

x12

y12

=1，

x22

y22

=1两式相减得

(x1−x2) (x1+x2)

(y1−y2) (y1+y2)

=0．
又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴

2x(x1−x2)

2y(y1−y2)

，②
由①②可得：9x²+16y²-9x-32y=0，③
当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程③，
∴弦中点的轨迹方程为：9x²+16y²-9x-32y=0．

设弦中点为M（x，y），交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．故（y₂-y₁）（x-1）=（x₂-x₁）（y-2）．再由点差法知

2x(x1−x2)

2y(y1−y2)

，由此可得：9x²+16y²-9x-32y=0．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用．

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