已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn-1（1）求{an}、{

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已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn-1（1）求{an}、{

2022-05-21 19:07:21 74次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知数列{a_n}为等差数列，a₃=5，a₇=13，数列{b_n}的前n项和为S_n，且有S_n=2b_n-1
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n，{c_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）试比较T_n与a_nS_n的大小，并说明理由．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）∵{an}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．∴a1+2d＝5a1+6d＝13，解得a1＝1d＝2∴an=1+2（n-1）=2n-1（n∈N*）（2分）在{bn}中，∵Sn=2bn-1当n=1时，b1=2b1-1，∴b1=1当n≥2时，由Sn=2bn-1及Sn-1=2bn-1-1可...

（1）直接利用a₃=5，a₇=13，列出关于首项和公差的等式，求出首项和公差即可求{a_n}的通项公式；再利用S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1可得b_n=2b_n-2b_n-1，整理得是公比为2 的等比数列，再求出首项即可求{b_n}的通项公式；
（2）先整理出{c_n}的通项公式，因为是一等差数列乘一等比数列组成的新数列，所以直接利用错位相减法求和即可；
（3）对T_n与a_nS_n作差整理得2（n+1-2ⁿ），再研究对应函数f（x）=x+1-2^x（x≥1）的单调性求出其最值即可比较出T_n与a_nS_n的大小．

本题考点：等差数列与等比数列的综合．

考点点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．

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