数列{an}的前n项和为Sn=2n+c，其中c为常数，则该数列{an}为等比数列的充要条件是______．

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数列{an}的前n项和为Sn=2n+c，其中c为常数，则该数列{an}为等比数列的充要条件是______．

2022-10-10 07:27:21 9次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ+c，其中c为常数，则该数列{a_n}为等比数列的充要条件是______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵S_n=2ⁿ+c，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ+c）-（2^n-1+c）=2^n-1，
∴等比数列{a_n}的公比q=2，首项a₁=1
而当n=1时，a₁=S₁=2¹+c=1
故c=-1
故答案为：c=-1

当n≥2时根据a_n=S_n-S_n-1，我们可以求出数列{a_n}的通项公式，进而得到数列的首项和公比，再由a₁=S₁，可以构造关于c的方程，解方程即可得到c的值，进而得到该数列{a_n}为等比数列的充要条件．

本题考点：等比数列的前n项和．

考点点评：本题以等比数列为载体，考查充要条件的定义，等比关系的确定，其中根据a_n=S_n-S_n-1，求出数列{a_n}的通项公式，是解答本题的关键．

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