设f(x)＝ex1+ax2，其中a为正实数．（1）当a＝43时，求f（x）的极值点；（2）若f（x）为[12， 32]上的单调函数，求a的取值范围．

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设f(x)＝ex1+ax2，其中a为正实数．（1）当a＝43时，求f（x）的极值点；（2）若f（x）为[12， 32]上的单调函数，求a的取值范围．

2022-10-20 21:45:17 15次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设f(x)＝
ex
1+ax2
，其中a为正实数．
（1）当a＝
4
3
时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为[
1
2
，
3
2
]上的单调函数，求a的取值范围．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵f′(x)＝

(ax2−2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
（1）当a＝

时，若f'（x）=0，
则4x2−8x+3＝0⇒x1＝

， x2＝

，

(−∞，

)

(

，

)

(

， +∞)

f'（x）

f（x）

递增

极大值

递减

极小值

递增

∴x1＝

是极大值点，x2＝

是极小值点；　　　　
（2）记g（x）=ax²-2ax+1，则g（x）=a（x-1）²+（1-a），
∵f（x）为[

，

]上的单调函数，
则f'（x）在[

，

]上不变号，
∵

(1+ax2)2

＞0，
∴g（x）≥0或g（x）≤0对x∈[

，

]恒成立，
由g（1）≥0或g(

)≤0⇒0＜a≤1或a≥

，
∴a的取值范围是0＜a≤1或a≥

．

（1）把a=

代入f(x)＝

1+ax2

，对f（x）进行求导，令f′（x）=0，解出其极值点；
（2）已知f（x）上的为单调函数，可知f′（x）在[

，

]恒大于等于0，或恒小于等于0，利用求出a的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．

考点点评：此题主要考查利用导数求函数的单调性，解此题的关键是对f（x）能够正确求导，利用了转化的思想，是一道中档题；

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设f(x)＝ex1+ax2，其中a为正实数．（1）当a＝43时，求f（x）的极值点；（2）若f（x）为[12， 32]上的单调函数，求a的取值范围．

题目内容：

设f(x)＝
ex
1+ax2
，其中a为正实数．
（1）当a＝
4
3
时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为[
1
2
，
3
2
]上的单调函数，求a的取值范围．

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