设a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R．（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）求函数f（x）的最小值．

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设a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R．（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）求函数f（x）的最小值．

2022-10-22 05:37:08 16次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最小值．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）∵函数f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R都有f（-x）=f（x），即（-x）2+|-x-a|+1=x2+|x-a|+1，对任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|，也就是（x+a）2=（x-a）2对任意的x∈R成立，故4ax=0恒成立，可得a=0．（2）①当x≤a...

（1）根据偶函数的定义，采用比较系数法，可得（x+a）²=（x-a）²对任意的x∈R成立，故可得a=0．
（2）分x≤a与x＞a两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质加以分析，可得当−

1

2

＜a≤

1

2

时，函数在x=a处取得最小值，而当a≤−

1

2

时，函数在x=-

1

2

处取得最小值；当a＞

1

2

时，函数在x=

1

2

处取得最小值．由此即可得到本题的答案．

本题考点：带绝对值的函数；函数奇偶性的判断．

考点点评：本小题主要考查偶函数的概念，考查二次函数的单调性、最值等基础知识以及运算求解能力、分类讨论思想等知识，属于中档题．

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