在数列{an}中，a1=2，an＝2an−1+2n+1(n≥2，n∈N*)（1）令bn＝an2n，求证{bn}是等差数列

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**在数列{an}中，a1=2，an＝2an−1+2n+1(n≥2，n∈N*)（1）令bn＝an2n，求证{bn}是等差数列**

2022-10-23 14:25:35 9次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

在数列{a_n}中，a₁=2，an＝2an−1+2n+1(n≥2，n∈N*)
（1）令bn＝
an
2n
，求证{b_n}是等差数列；
（2）在（1）的条件下，设Tn＝
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
，求T_n．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）证明：由an＝2an−1+2n+1得

an

2n

＝

an−1

2n−1

+2…（4分）
∴

an

2n

−

an−1

2n−1

＝2（n≥2）…（5分）
又bn＝

an

2n

，∴b₁=1，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．…（6分）
（2）由（1）知b_n=2n-1，∴

1

bnbn+1

＝

1

(2n−1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n−1

−

1

2n+1

)…（9分）
∴Tn＝

1

2

(1−

1

3

+

1

3

−

1

5

+…+

1

2n−1

−

1

2n+1

)=

1

2

(1−

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（12分）

（1）利用数列递推式，结合bn＝

an

2n

，即可得到数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列；
（2）利用裂项法，即可求得数列的和．

本题考点：数列递推式；数列的求和．

考点点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的求和，解题的关键是正确运用数列递推式，合理运用数列的求和公式，属于中档题．

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