王老师
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一元三次方程求根公式
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型.
卡尔丹公式的推导
第一步：
ax^3+bx^2+cx+d=0
为了方便,约去a得到
x^3+kx^2+mx+n=0
令x=y-k/3 ,
代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ,
(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ,
k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ,
所以相加后y^2抵消 ,
得到y^3+py+q=0,
其中p=(-k^2/3)+m ,
q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n.
第二步：
方程x^3+px+q=0的三个根为：
x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；
x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；
x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3),
其中w=(-1+i√3)/2.
×推导过程：
1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；
2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3),x2=A^(1/3)ω,x3=A^(1/3)ω^2 ,
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式.
再令x=y-a/3,代入可消去次高项,变成x^3+px+q=0的形式.
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①,
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立,
由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根.
解之得,y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),
不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),
则u^3=A；v^3=B ,
u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ；
v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ,
但是考虑到uv=-p/3,所以u、v只有三组
u1= A^(1/3),v1= B^(1/3)；
u2=A^(1/3)ω,v2=B^(1/3)ω^2；
u3=A^(1/3)ω^2,v3=B^(1/3)ω,
最后：
方程x^3+px+q=0的三个根也出来了,即
x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)；
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；
x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω.
卡尔丹公式
方程x^3+px+q=0,（p,q∈R）
判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3.
x1=A^(1/3)+B^(1/3)；
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；
x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω.
这就是著名的卡尔丹公式.
卡尔丹判别法
当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时,有一个实根和一对个共轭虚根；
当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时,有三个实根,其中两个相等；
当△=(q/2)^2+(p/3)^3
