在数列{an}中，a1=1，并且对于任意n∈N*，都有．an+1=an2an+1（1）证明数列{1an}为等差数列，并求

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**在数列{an}中，a1=1，并且对于任意n∈N*，都有．an+1=an2an+1（1）证明数列{1an}为等差数列，并求**

2022-11-13 00:32:51 7次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

在数列{a_n}中，a₁=1，并且对于任意n∈N^*，都有．a_n+1=
an
2an+1

（1）证明数列{
1
an
}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_na_n+1}的前n项和T_n．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）证明：∵在数列{a_n}中，a₁=1，
并且对于任意n∈N^*，都有．a_n+1=

an

2an+1

，
∴

1

a1

＝1，

1

an+1

=

2an+1

an

=

1

an

+2，
∴{

1

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴

1

an

=1+（n-1）•2=2n-1，
∴a_n=

1

2n−1

．
（2）∵a_na_n+1=

1

2n−1

•

1

2n+1

=

1

2

（

1

2n−1

−

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

−

1

5

+…+

1

2n−1

−

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

（1）由已知条件得

1

a1

＝1，

1

an+1

=

2an+1

an

=

1

an

+2，由此能证明{

1

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，从而得到a_n=

1

2n−1

．
（2）由a_na_n+1=

1

2n−1

•

1

2n+1

=

1

2

（

1

2n−1

−

1

2n+1

），利用裂项求和法能求出数列{a_na_n+1}的前n项和T_n．

本题考点：数列的求和；数列递推式．

考点点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．

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