f(x)=∫(上pia下0) ln(1+cosx)dx=设f(x)为连续函数，且满足f(x)=∫(上x下0) f(t-x)dt=-x^2/2+e^-x -1 ,则f(x)=

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f(x)=∫(上pia下0) ln(1+cosx)dx=设f(x)为连续函数，且满足f(x)=∫(上x下0) f(t-x)dt=-x^2/2+e^-x -1 ,则f(x)=

2022-11-15 02:51:41 16次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

f(x)=∫(上pia下0) ln(1+cosx)dx=
设f(x)为连续函数，且满足f(x)=∫(上x下0) f(t-x)dt=-x^2/2+e^-x -1 ,则f(x)=

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

原式=2∫[0,π] lncos(x/2)dx 令t=x/2,则原式=4∫[0,π/2] lncostdt
令u=π/2-t,得:原式=4∫[0,π/2] lnsinudu
而∫[0,π/2] lnsinudu=-πln2/2,所以原式=-2πln2
∫[0,π/2] lnsinudu=-πln2/2证明如下:
令u=2r,则原式=2∫[0,π/4] lnsin2rdr=2∫[0,π/4] ln2sinrcosrdr
=2∫[0,π/4] ln2dr+2∫[0,π/4] lnsinrdr+2∫[0,π/4] lncosrdr
令s=π/2-r,则原式=πln2/2+2∫[0,π/4] lnsinrdr+2∫[π/4,π/2] lnsinrdr
=πln2/2+2∫[0,π/2] lnsinudu
所以∫[0,π/2] lnsinudu=-πln2/2
至于补充题:f(x)=∫(上x下0) f(t-x)dt=-x^2/2+e^-x -1,那么f(x)不就=-x^2/2+e^-x -1吗?

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f(x)=∫(上pia下0) ln(1+cosx)dx=设f(x)为连续函数，且满足f(x)=∫(上x下0) f(t-x)dt=-x^2/2+e^-x -1 ,则f(x)=

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f(x)=∫(上pia下0) ln(1+cosx)dx=
设f(x)为连续函数，且满足f(x)=∫(上x下0) f(t-x)dt=-x^2/2+e^-x -1 ,则f(x)=

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