在1n和n+1之间插入n个正数，使这n+2个正数成等比数列，则插入的n个正数之积为______．

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在1n和n+1之间插入n个正数，使这n+2个正数成等比数列，则插入的n个正数之积为______．

2022-02-23 03:31:00 41次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

在
1
n
和n+1之间插入n个正数，使这n+2个正数成等比数列，则插入的n个正数之积为______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

设该数列为{a_n}，
n为偶数，a₁•a_n=a₂•a_n-1=a₃•a_n-2=…=a

n

2

•a

n

2

+1
∴中间n个数的积为(

n+1

n

)

n

2

当n为奇数，a₁•a_n=a₂•a_n-1=a₃•a_n-2=…=（a

n+1

2

）²•
中间n个数的积为
(

n+1

n

)

n−1

2

×(

n+1

n

)

1

2

=(

n+1

n

)

n

2

综上所述，结果为(

n+1

n

)

n

2

故答案为(

n+1

n

)

n

2

分n为奇数和偶数两种情况讨论，根据等比中项的性质可知a₁•a_n=a₂•a_n-1=a₃•a_n-2=…=a

n

2

•a

n

2

+1和a₁•a_n=a₂•a_n-1=a₃•a_n-2=…=（a

n+1

2

）²•进而求得答案．

本题考点：等比数列的性质．

考点点评：本题主要考查等比数列的性质．解题的关键是利用了等比中项的性质．但要注意讨论n取奇数和偶数时的两种情况．

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