已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f(32−x)＝f(x)，f（-2）=-3，数列{an}满足a1=-1，且Sn

大家查题吧

2000万题库，覆盖所有考试类目，免费查题

今日已更新 16514 道题

首页 > 中学数学试题 > 题目详情

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f(32−x)＝f(x)，f（-2）=-3，数列{an}满足a1=-1，且Sn

2022-09-22 18:19:54 7次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f(
3
2
−x)＝f(x)，f（-2）=-3，数列{a_n}满足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，（其中S_n为{a_n}的前n项和）.则f（a₅）+f（a₆）=（　　）
A. -3
B. -2
C. 3
D. 2

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵函数f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵f(

3

2

−x)＝f(x)，
∴f(

3

2

−x)＝−f(−x)
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴a₅=-31，a₆=-63
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故选C

先由函数f（x）是奇函数和f(

3

2

−x)＝f(x)，推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63计算即可．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性．

考点点评：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．

本题链接：