已知函数f（x）=2x-12x，数列{an}满足f（log2an）=-2n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明数列{an}是递减数列．

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已知函数f（x）=2x-12x，数列{an}满足f（log2an）=-2n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明数列{an}是递减数列．

2022-09-25 08:17:51 5次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知函数f（x）=2^x-
1
2x
，数列{a_n}满足f（log₂a_n）=-2n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明数列{a_n}是递减数列．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1） ∵f（x）=2x-12x，f（log2an）=-2n，∴2log2an-2-log2an=-2n，an-1an=-2n，∴an2+2nan-1=0，解得an=-n±n2+1，∵an>0，∴an=n2+1-n，n∈N*；（2）证明：an+1an=(n+1)2+1-(n+1)n2+1-n=n2+1+n(n+1)2+1+(n+1)...

（1）由已知结合f（log₂a_n）=-2n得到数列递推式，整理后求解关于a_n的一元二次方程得答案；
（2）直接利用作商法证明数列是递减数列．

本题考点：数列递推式；数列的函数特性．

考点点评：本题考查了数列的函数特性，考查了数列递推式，训练了利用作商法证明数列是递减数列，是中档题．

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已知函数f（x）=2x-12x，数列{an}满足f（log2an）=-2n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明数列{an}是递减数列．

题目内容：

已知函数f（x）=2^x-
1
2x
，数列{a_n}满足f（log₂a_n）=-2n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明数列{a_n}是递减数列．

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