如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且ABAC＝ADCE，∠BAD=∠ECA．（1）求证：AC2=BC•CD；（2）若E是△ABC的重心，求AC2：AD2的值．

2022-07-14 22:53:47 31次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

（1）证明：∵

＝

，∠BAD=∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴

＝

，
∴AC²=BC•CD．
（2）∵△BAD∽△ACE，
∴∠BDA=∠AEC，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵E是△ABC的重心，
∴BC=2BD=2CD，AE＝

AD，
∴AC²=BC•CD=2CD²，
∵△BAD∽△ACE，
∴

＝

，
∴

AD2＝BD•CE，
∴AD2＝

CD2，
∴

AC2

AD2

＝

．

（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）利用重心的性质得出BC=2BD=2CD，AE＝

AD，进而得出△BAD∽△ACE，即可得出线段之间关系求出即可．

本题考点：相似三角形的判定与性质；三角形的重心．

考点点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出△BAD∽△ACE是解题关键．

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