如图，AB为弦，直线BC是⊙O的切线，OC交AB于P，PC=BC．（1）求证：OA⊥OC；（2）已知⊙O的半径为3，CP=4，求弦AB的长．

2022-04-02 12:56:04 42次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

（1）证明：连接OB，∵OA=OB，CP=CB，∴∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，∵∠APO=∠CPB，∴∠APO=∠CBP，∵CB切⊙O于B，∴∠OBC=90°，即∠A+∠APO=∠CBP+∠OBA=90°，∴∠AOC=180°-90°=90°，∴OA⊥OC．（2）延长CO交⊙...

（1）连接OB，根据等腰三角形性质求出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，推出∠A=∠OBP，∠APO=∠PBC，根据切线性质求出∠OBC=90°，代入即可求出答案；
（2）延长CO交⊙O于Q，根据切割线定理求出CM，求出PM、OP，根据勾股定理求出AP，根据相交弦定理求出BP即可．

本题考点：切线的性质；垂线；直角三角形的性质；勾股定理；垂径定理；相交弦定理；切割线定理．

考点点评：本题综合考查了圆的切线，相交弦定理，切割线定理，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的运用，知道圆的切线，连接圆心和切点，题目综合性比较强，通过做此题培养了学生综合运用定理进行推理和计算的能力．

本题链接：