平面上有n个圆，其中每两个圆之间都相交于两个点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成f（n）块区域，则f（n）的表达式是（

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平面上有n个圆，其中每两个圆之间都相交于两个点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成f（n）块区域，则f（n）的表达式是（

2022-10-05 11:53:35 22次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

平面上有n个圆，其中每两个圆之间都相交于两个点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成f（n）块区域，则f（n）的表达式是（　　）
A. 2ⁿ
B. 2ⁿ-（n-1）（n-2）（n-3）
C. n³-5n²+10n-4
D. n²-n+2

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵一个圆将平面分为2份
两个圆相交将平面分为4=2+2份，
三个圆相交将平面分为8=2+2+4份，
四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份，
…
平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，
则该n个圆分平面区域数f（n）=2+（n-1）n=n²-n+2
证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而1²-1+2=2，命题成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，命题成立，即k个圆把平面分成k²-k+2个区域．
当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，
而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，
共有k²-k+2+2k=（k+1）²-（k+1）+2个区域．
∴n=k+1时，命题也成立．
由（1）、（2）知，对任意的n∈N*，命题都成立．
故选D．

我们由两个圆相交将平面分为4分，三个圆相交将平面分为8分，四个圆相交将平面分为14部分，我们进行归纳推理，易得到结论，再利用数学归纳法的证明方法，验证n=1时命题成立，然后假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立即可．

本题考点：进行简单的合情推理．

考点点评：本题主要考查了进行简单的合情推理．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

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