题目内容：

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1．
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式
（2）若函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

优质解答

f′（x）=-3x²+2ax+b，（2分）
因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，
所以f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，（3分）
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1．（4分）
（1）函数f（x）在x=-2时有极值，所以f'（-2）=-12-4a+b=0，（5分）
解得a=-2，b=4，c=-3，（7分）
所以f（x）=-x³-2x²+4x-3．（8分）
（2）因为函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，所以导函数f′（x）=-3x²-bx+b
在区间[-2，0]上的值恒大于或等于零，（10分）
则

f′(−2)＝−12+2b+b≥0 f′(0)＝b≥0，

得b≥4，所以实数b的取值范围为[4，+∞）（14分）