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如图,△ABC中,内切圆I与AB,BC,CA分别切于F,D,E,连接BI,CI,再连接FD,ED,(1)若∠A=40°,
题目内容:
如图,△ABC中,内切圆I与AB,BC,CA分别切于F,D,E,连接BI,CI,再连接FD,ED,
(1)若∠A=40°,求∠BIC与∠FDE的度数.
(2)若∠BIC=α;∠FDE=β,试猜想α,β的关系,并证明你的论.优质解答
(1)∵圆I是△ABC的内切圆,
∴∠IBC=1 2
∠ABC,∠ICB=1 2
∠ACB,
∴∠IBC+∠ICB=1 2
(∠ABC+∠ACB),
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,
∴∠IBC+∠ICB=70°,
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=110°,
连接IF、IE,
∵圆I是△ABC的内切圆,
∴∠IFA=∠IEA=90°,
∵∠A=40°,
∴∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=140°,
∴∠EDF=1 2
∠EIF=70°,
答:∠BIC=110°,∠FDE=70°.
(2)α=180°-β.
理由如下:由圆周角定理得:∠FIE=2∠FDE,
由(1)知:2∠FDE=180°-∠A,
即∠A=180°-2∠FDE,
∴∠A=180°-∠EIF,
由(1)知:2∠FDE=180°-∠A,
∴∠A=180°-2∠FDE=180°-2β,
∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-1 2
(∠ABC+∠ACB),
=180°-1 2
(180°-∠A)=90°+1 2
∠A,
∴∠BIC=α=90°+1 2
(180°-2β),
即α=180°-β.
(1)若∠A=40°,求∠BIC与∠FDE的度数.
(2)若∠BIC=α;∠FDE=β,试猜想α,β的关系,并证明你的论.
优质解答
∴∠IBC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠IBC+∠ICB=
1 |
2 |
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,
∴∠IBC+∠ICB=70°,
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=110°,
连接IF、IE,
∵圆I是△ABC的内切圆,
∴∠IFA=∠IEA=90°,
∵∠A=40°,
∴∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=140°,
∴∠EDF=
1 |
2 |
答:∠BIC=110°,∠FDE=70°.
(2)α=180°-β.
理由如下:由圆周角定理得:∠FIE=2∠FDE,
由(1)知:2∠FDE=180°-∠A,
即∠A=180°-2∠FDE,
∴∠A=180°-∠EIF,
由(1)知:2∠FDE=180°-∠A,
∴∠A=180°-2∠FDE=180°-2β,
∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-
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2 |
=180°-
1 |
2 |
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2 |
∴∠BIC=α=90°+
1 |
2 |
即α=180°-β.
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