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2009年全国高中数学联赛福建省预赛试卷考试试题及答案
1:
已知向量,,.若、、分别是锐角中、、的对边,且满足,,,则的面积______.......
2:
已知,且方程有两个不同的正根,其中一根是另一根的3倍.记等差数列、的前项和分别为、,且. (1)若,求的最大值. (2)若,数列的公差为3,探究在数列与中是否存在相等的项.若有,求出由这些相等项从小到.........
3:
满足,且的有序整数组的个数为______.......
4:
方程的实数解是______(表示不超过实数的最大整数).......
5:
集合的元素和为奇数的非空子集的个数为______.......
6:
若对于任意的实数,函数的值都是非负实数,则实数的最大值为______.......
7:
设在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点、,直线与线段、分别交于点、,且平分的面积.则的最小值为______.......
8:
若定义在上的奇函数的图像关于直线对称,且当时,,则方程在区间内的所有实根之和为______.......
9:
一个直径的半圆,过点作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点,使,为半圆上一个动点,、分别为点在、上的射影.当三棱锥的体积最大时,与平面所成角的正弦值是______.......
10:
已知五个不同的实数,任取两个求和得到十个和数,其中最小的三个和数依次为32、36、37,最大的两个和数为48和51.则这五个数中最大的数等于______.......
11:
设,变量满足,且的最小值为.则______.......
12:
已知正实数、、满足.求证: (1); (2).......
13:
设.令. (1)能否等于2010?证明你的结论; (2)能取到多少个不同的整数值?......
14:
如图,与线段切于点,且与以为直径的半圆切于点,于点,与以为直径的半圆交于点,且与切于点,联结、.求证: (1)、、三点共线; (2); (3).......
15:
已知抛物线的顶点在原点,焦点为,点. (1)设过点且斜率为1的直线交抛物线于、两点.若,关于原点的对称点为,求面积的最大值. (2)设过点且斜率为的直线交抛物线于、两点.问:在轴上是否存在一点,使得、.........
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