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数学奥林匹克高中训练题(214)考试试题及答案
1:
在中,,点D在边AB上,BD=1,,DA=DC.则_______。......
2:
设集合 .若集合A中所有四元子集的四个元素之积组成的集合为,则集合A中的元素和为__________。......
3:
已知点A(3,1),,且的四个顶点均在函数的图像上,则的面积为__________。......
4:
设m、n为正整数,p为素数.求所有满足的三元数组(m、n、p).......
5:
如图,过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B,所作割线与圆交于C、D两点,C在P、D之间,在弦CD上取一点Q,使得∠DAQ=∠PBC,证明:QP平分∠AQB.......
6:
记表示不超过实数x的最大整数,已知数列满足,.设,求.......
7:
设抛物线的焦点为F,过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于S、T两点,以P(3,0)为圆心的圆过点S、T,且∠SPT=90°. (1)求抛物线E、的方程; (2)设M为上的点,过点M且垂直于FM的直线与.........
8:
已知函数.设为正实数,且,证明:.......
9:
定义是上的奇函数,且当时, .若对任意的均有,则实数的取值范围为 .......
10:
在四面体中,已知,,.则四面体的外接球的半径为______.......
11:
某情报站有、、、四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用种密码.那么,第七周也使用种密码的概率是______(用最简分数表示)..........
12:
现安排七名同学去参加五个运动项目,要求甲、乙两名同学不能参加同一个项目,每个项目均有人参加,每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同方案数为__________。......
13:
椭圆上任意两点P、Q,O为坐标原点.若,则面积的最小值为__________。......
14:
已知正实数满足有一组不全为0的实数解,且,证明:.......
15:
将编号为1,2,…,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达到最小值的放法的概率.注:如果某种放法经旋转或镜面反射后可.........
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