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计算：1×2+3×4+5×6+7×8+9×10+.99×100的值?

优质解答

首先可以知道存在这样一个数列{an}:1*2,2*3,3*4,...,99*100
可以看出数列的通项公式为 an=n(n+1)=n^2+n
从上面可以得到启示
1*2=1^2+1
2*3=2^2+2
3*4=3^2+3
.
.
.
99*100=99^2+99
于是原式=（1^2+2^2+3^2+...+99^2）+（1+2+3++...+99）
1到99的平方和可以用平方和公式 sn= n(n+1)(2n+1)/6(证明放在最后面)
即：1^2+2^2+3^2+...+99^2=99*100*199/6=328350
1+2+3+...+99=（1+99）99/2=4950
因此 原式=328350+4950=333300
(附)平方和公式证明如下
证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6
1、N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时,
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.