题目内容：

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e^x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是______．

优质解答

设切点坐标为（m，e^m）
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-e^m=e^m（x-m）
令x=0，解得y=（1-m）e^m
过点P作l的垂线的切线方程为y-e^m=-e^-m（x-m）
令x=0，解得y=e^m+me^-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=

1

2

[（2-m）e^m+me^-m]
t'=

1

2

[-e^m+（2-m）e^m+e^-m-me^-m]，令t'=0解得：m=1
当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0
∴当m=1时t取最大值

1

2

(e+e−1)
故答案为：

1

2

(e+e−1)