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如图,B为线段AD上一点,△ABC和△BDE都是等边三角形,连接CE并延长交AD的延长线于点F,△ABC的外接圆⊙O交C
题目内容:
如图,B为线段AD上一点,△ABC和△BDE都是等边三角形,连接CE并延长交AD的延长线于点F,△ABC的外接圆⊙O交CF于点M.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=CM•CF;
(3)若CM=27
7
,MF=127
7
,求BD;
(4)若过点D作DG∥BE交EF于点G,过G作GH∥DE交DF于点H,则易知△DGH是等边三角形.设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S1、S2、S3,试探究S1、S2、S3之间的等量关系,请直接写出其结论.
优质解答
(1)证明:连接OB
∵△ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC=AC,∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°(1分)
∵∠CBE=180°-60°-60°=60°
∴∠OBE=30°+60°=90°即OB⊥BE(2分)
∴BE是⊙O的切线;(3分)
(2)证明:连接AM,则∠AMC=∠ABC=∠CAF=60°(4分)
∵∠ACM=∠FCA
∴△ACM∽△FCA(5分)
∴AC CF
=CM AC
∴AC2=CM•CF;(6分)
(3) ∵AC2=CM•CF
∴AC=2(7分)
设FB=x
∵FB•FA=FM•FC
∴x(x+2)=127
7
•27
∴x=4,x=-6(舍去)
∴FB=4(8分)
∵EB∥AC
∴BE AC
=FB FA
∴BE 2
=4 6
(9分)
∴BE=4 3
∴BD=4 3
;(10分)
(4) S22=S1•S3或S1 S2
=S2 S3
(12分).
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=CM•CF;
(3)若CM=
2
| ||
7 |
12
| ||
7 |
(4)若过点D作DG∥BE交EF于点G,过G作GH∥DE交DF于点H,则易知△DGH是等边三角形.设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S1、S2、S3,试探究S1、S2、S3之间的等量关系,请直接写出其结论.
优质解答
∵△ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC=AC,∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°(1分)
∵∠CBE=180°-60°-60°=60°
∴∠OBE=30°+60°=90°即OB⊥BE(2分)
∴BE是⊙O的切线;(3分)
(2)证明:连接AM,则∠AMC=∠ABC=∠CAF=60°(4分)
∵∠ACM=∠FCA
∴△ACM∽△FCA(5分)
∴
AC |
CF |
CM |
AC |
∴AC2=CM•CF;(6分)
(3) ∵AC2=CM•CF
∴AC=2(7分)
设FB=x
∵FB•FA=FM•FC
∴x(x+2)=
12
| ||
7 |
7 |
∴x=4,x=-6(舍去)
∴FB=4(8分)
∵EB∥AC
∴
BE |
AC |
FB |
FA |
∴
BE |
2 |
4 |
6 |
∴BE=
4 |
3 |
∴BD=
4 |
3 |
(4) S22=S1•S3或
S1 |
S2 |
S2 |
S3 |
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