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在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2(1)求∠A;(2)若a=3,求b2+c2的取值范围.
题目内容:
在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2
(1)求∠A;
(2)若a=3
,求b2+c2的取值范围.优质解答
(1)由余弦定理知:
cosA=b2+c2−a2 2bc
=1 2
,又A∈(0,π)
∴∠A=π 3
(2)由正弦定理得:a sinA
=b sinB
=c sinC
=2
∴b=2sinB,c=2sinC
∴b2+c2=4(sin2B+sin2C)=2(1-cos2B+1-cos2C)
=4-2cos2B-2cos2(2π 3
-B)
=4-2cos2B-2cos(4π 3
-2B)
=4-2cos2B-2(-1 2
cos2B-3
2
sin2B)
=4-cos2B+3
sin2B
=4+2sin(2B-π 6
),
又∵0<∠B<2π 3
,∴−π 6
<2B-π 6
<7π 6
∴-1<2sin(2B-π 6
)≤2
∴3<b2+c2≤6.
(1)求∠A;
(2)若a=
3 |
优质解答
cosA=
b2+c2−a2 |
2bc |
1 |
2 |
∴∠A=
π |
3 |
(2)由正弦定理得:
a |
sinA |
b |
sinB |
c |
sinC |
∴b=2sinB,c=2sinC
∴b2+c2=4(sin2B+sin2C)=2(1-cos2B+1-cos2C)
=4-2cos2B-2cos2(
2π |
3 |
=4-2cos2B-2cos(
4π |
3 |
=4-2cos2B-2(-
1 |
2 |
| ||
2 |
=4-cos2B+
3 |
=4+2sin(2B-
π |
6 |
又∵0<∠B<
2π |
3 |
π |
6 |
π |
6 |
7π |
6 |
∴-1<2sin(2B-
π |
6 |
∴3<b2+c2≤6.
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