题目内容：

如图，BD为⊙O的直径，A为

BC

的中点，A交BC于点E，过D作⊙O的切线，交BC的延长线于F，

（1）求证：DF=EF；
（2）AE=2，DE=4，求DB长．

优质解答

（1）连接OA，
∵A为

BC

的中点，
∴OA⊥BC，
∴∠OAE+∠AEG=90°，
∵∠AEG=∠FED，
∴∠OAE+∠FED=90°，
∵DE为圆的切线，
∴DE⊥BD，即∠FDE+∠ADB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAE=∠ADB，
∴∠FED=∠FDE，
∴DF=EF；
（2）连接AB，
∵BD为圆的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵OA⊥BC，
∴∠OAD+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠OAD=∠ADO，
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AE

=

AD

AB

，即AB²=AE•AD=2×（2+4）=12，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD²=AB²+AD²=12+36=48，
则BD=4

3

．