【已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=−23,满足Sn+1Sn+2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.】
2021-07-17 38次 反馈错误 加入收藏 正确率 : 100%
题目内容:
已知数列{a
n}的前n项和为S
n,
a1=−,满足
Sn++2=an(n≥2),计算S
1,S
2,S
3,S
4,并猜想S
n的表达式.
优质解答
由题设得Sn2+2Sn+1-anSn=0,当n≥2(n∈N*)时,an=Sn-Sn-1,
代入上式,得Sn-1Sn+2Sn+1=0.(*)
S1=a1=-,
∵Sn+=an-2(n≥2,n∈N),令n=2可得
,S2+=a2-2=S2-a1-2,
∴=-2,
∴S2=-.
同理可求得 S3=-,S4=-.
猜想Sn =-,n∈N+,下边用数学归纳法证明:
①当n=1时,S1=a1=-,猜想成立.
②假设当n=k时猜想成立,即SK=-,则当n=k+1时,∵Sn+=an-2,∴SK+1+=ak+1−2,
∴SK+1+=SK+1−SK−2,∴=-2=,
∴SK+1=-,∴当n=k+1时,猜想仍然成立.
综合①②可得,猜想对任意正整数都成立,即 Sn =-,n∈N+成立.
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