如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,E是PB上任意一点,△AEC
2021-05-04 102次 反馈错误 加入收藏 正确率 : 100%
题目内容:
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,E是PB上任意一点,△AEC面积的最小值是3.
(Ⅰ)求证:AC⊥DE;
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积.
优质解答
(Ⅰ)证明:连接BD,设AC与BD相交于点F.
因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.
又因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC.
而AC∩BD=F,所以AC⊥平面PDB.
E为PB上任意一点,DE⊂平面PBD,所以AC⊥DE.
(Ⅱ)连EF.由(Ⅰ),知AC⊥平面PDB,EF⊂平面PBD,所以AC⊥EF.
S△ACE=AC•EF,在△ACE面积最小时,EF最小,则EF⊥PB.
S△ACE=×6×EF=3,解得EF=1.
由△PDB∽△FEB,得PD:EF=BP:FB.
由于EF=1,FB=4,PB=,所以PB=4PD,即=4PD.
解得PD=.
VP-ABCD=•S□ABCD•PD=×24×=.
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