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已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PC=2，PB=PD． （Ⅰ）若O是AC与BD的
题目内容：
已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PC=2，PB=PD．
（Ⅰ）若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点M是PD的中点，求异面直线AD与CM所成角的余弦值．优质解答
证明：（Ⅰ）连接AC与BD交于点O，连OP．
∵PA=PC，PD=PB，且O是AC和BD的中点，
∴PO⊥AC，PO⊥BD
∴PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取PA的中点N，连接MN，则MN∥AD，
则∠NMC就是所求的角，
根据题意得MN＝1，NC＝3
，PD＝6
所以，MC＝PC2−PM2
＝4−6 4
＝10
2
故 cos∠NMC＝MN2+MC2−NC2 2MN•MC
＝10
20
（Ⅰ）若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点M是PD的中点，求异面直线AD与CM所成角的余弦值．
优质解答
证明：（Ⅰ）连接AC与BD交于点O，连OP．∵PA=PC，PD=PB，且O是AC和BD的中点，
∴PO⊥AC，PO⊥BD
∴PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取PA的中点N，连接MN，则MN∥AD，
则∠NMC就是所求的角，
根据题意得MN＝1，NC＝
| 3 |
| 6 |
所以，MC＝
| PC2−PM2 |
4−
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| ||
| 2 |
故 cos∠NMC＝
| MN2+MC2−NC2 |
| 2MN•MC |
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