首页 > 数学 > 题目详情
【海森矩阵逆矩阵的计算公式】
题目内容：
海森矩阵逆矩阵的计算公式优质解答
在数学中,海森矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,此函数如下：
如果 f 所有的二阶导数都存在,那么 f 的海森矩阵即：
其中 ,即
（也有人把海森定义为以上矩阵的行列式） 海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题.
逆矩阵求法
1)=(1/|A|)×A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的伴随矩阵.
逆矩阵的另外一种常用的求法：
(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)).
注意：初等变化只用行（列）运算,不能用列（行）运算.E为单位矩阵.
一般计算中,或者判断中还会遇到以下11种情况来判断逆矩阵：
1 秩等于行数
2 行列式不为0
3 行向量(或列向量)是线性无关组
4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵
5 作为线性方程组的系数有唯一解
6 满秩
7 可以经过初等行变换化为单位矩阵
8 伴随矩阵可逆
9 可以表示成初等矩阵的乘积
10 它的转置可逆
11 它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变
编辑本段逆矩阵具有以下性质： 1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0.
2 可逆矩阵一定是方阵.
3 如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的.
4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵.
5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆.
6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆.
7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵.
编辑本段matlab中的求法： inv(a)或a^-1.
例如：
>> a =
8 4 9
2 3 5
7 6 1
>> a^-1
ans =
0.1636 -0.3030 0.0424
-0.2000 0.3333 0.1333
0.0545 0.1212 -0.0970
>> inv(a)
ans =
0.1636 -0.3030 0.0424
-0.2000 0.3333 0.1333
0.0545 0.1212 -0.0970
以下是对MATLAB中Inv用法的解释.
原文（来自matlab help doc）
In practice, it is seldom necessary to form the explicit inverse of a matrix. A frequent misuse of inv
arises when solving the system of linear equations Ax=B .
One way to solve this is with x = inv(A)*B.A better way, from both an execution time and numerical accuracy standpoint,is to use the matrix division operator x = A\b.
实际上,很少需要矩阵逆的精确值.在解方程 Ax=B的时候可以使用x = inv(A)*B,
但通常我们求解这种形式的线性方程时,不必要求出A的逆矩阵,在MATLAB中精度更高,速度更快的方法是用左除——x = A\b.
另外,用LU分解法的速度更快,只是要多写一条LU分解语句.
速度可以通过matlab中tic和toc来估算运行的时间.
优质解答
如果 f 所有的二阶导数都存在,那么 f 的海森矩阵即：
其中 ,即
（也有人把海森定义为以上矩阵的行列式） 海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题.
逆矩阵求法
1)=(1/|A|)×A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的伴随矩阵.
逆矩阵的另外一种常用的求法：
(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)).
注意：初等变化只用行（列）运算,不能用列（行）运算.E为单位矩阵.
一般计算中,或者判断中还会遇到以下11种情况来判断逆矩阵：
1 秩等于行数
2 行列式不为0
3 行向量(或列向量)是线性无关组
4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵
5 作为线性方程组的系数有唯一解
6 满秩
7 可以经过初等行变换化为单位矩阵
8 伴随矩阵可逆
9 可以表示成初等矩阵的乘积
10 它的转置可逆
11 它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变
编辑本段逆矩阵具有以下性质： 1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0.
2 可逆矩阵一定是方阵.
3 如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的.
4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵.
5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆.
6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆.
7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵.
编辑本段matlab中的求法： inv(a)或a^-1.
例如：
>> a =
8 4 9
2 3 5
7 6 1
>> a^-1
ans =
0.1636 -0.3030 0.0424
-0.2000 0.3333 0.1333
0.0545 0.1212 -0.0970
>> inv(a)
ans =
0.1636 -0.3030 0.0424
-0.2000 0.3333 0.1333
0.0545 0.1212 -0.0970
以下是对MATLAB中Inv用法的解释.
原文（来自matlab help doc）
In practice, it is seldom necessary to form the explicit inverse of a matrix. A frequent misuse of inv
arises when solving the system of linear equations Ax=B .
One way to solve this is with x = inv(A)*B.A better way, from both an execution time and numerical accuracy standpoint,is to use the matrix division operator x = A\b.
实际上,很少需要矩阵逆的精确值.在解方程 Ax=B的时候可以使用x = inv(A)*B,
但通常我们求解这种形式的线性方程时,不必要求出A的逆矩阵,在MATLAB中精度更高,速度更快的方法是用左除——x = A\b.
另外,用LU分解法的速度更快,只是要多写一条LU分解语句.
速度可以通过matlab中tic和toc来估算运行的时间.
本题链接：