王老师
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重视数学“双基”教学,是我国中小学数学教学的传统优势；但毋庸置疑,其本身也存在着诸多局限性.如何继承和发展“双基”教学,是当前数学教育研究的一个重要课题.《上海市中小学数学课程标准》对此明确指出,“应与时俱进地重新审视数学基础”,并提出了新的数学基础观,其中把数学思想方法作为数学基础知识的一项重要内容.中国科学院院士、著名数学家张景中曾指出：“小学生学的数学很初等,很简单.但尽管简单,里面却蕴含了一些深刻的数学思想.”与以往教材相比,上海市小学数学新教材更加重视数学思想方法的教学,把基本的数学思想方法作为选择和安排教学内容的重要线索.让学生通过基础知识和基本技能的学习,懂得有条理地思考和简明清晰地表达思考过程,运用数学的思想方法分析和解决问题,以更好地理解和掌握数学内容,形成良好的思维品质,为学生后续学习奠定扎实的基础.面对新课程背景下渗透数学思想方法教学的新要求,作为新教材的实施者,下面就小学数学课堂教学中渗透数学思想方法的策略,谈谈自己的一些认识与实践.
一、小学数学教学中渗透数学思想方法的着眼点
1、渗透数学思想方法应加强过程性
渗透数学思想方法,并不是将其从外部注入到数学知识的教学之中.因为数学思想方法是与数学知识的发生发展和解决问题的过程联系在一起的内部之物.教学中不直接点明所应用的数学思想方法,而应该引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验蕴含其中的数学思想方法,切忌生搬硬套、和盘托出.例如学生写出几个商是2的除法算式,通过观察可以归纳出被除数、除数和商之间的关系,大胆猜想出商不变的规律：可能是被除数和除数同时乘以或除以同一个数（零除外）,商不变；也可能是同时加上或减去同一个数,商不变.到底何种猜想为真?学生带着问题运用不完全归纳举例验证自己的猜想,最终得到了“商不变性质”.所以学生获得“商不变性质”的过程,又是归纳、猜想、验证的体验过程,绝不是从外部加上一个归纳猜想验证.学生一旦感悟到这种思想,就会联想到加减法和乘法是否也存在类似的规律,从而把探究过程延续到课外.
2、渗透数学思想方法应强调反复性
小学生对数学思想方法领会和掌握有一个“从具体到抽象,从感性到理性”的认知过程,在反复渗透和应用中才能增进理解.例如学生对极限思想的领会就需要一个较长的反复认识过程.如刚认数时,让学生看到自然数0、1、2、3……是“数不完”的,初步体验到自然数有“无限多个”；学生举例验证乘法分配律,在举不完的情况下用省略号或字母符号表示；教学梯形面积计算公式之后,让梯形的上底无限逼近于0,得到三角形的面积计算公式……让学生多次经历在有限的时空里去领略“无限”的含义,最终达到对极限思想的理解.同时在具体进行教学时,教师应放慢脚步,使学生在充分地列举、不断地体验中,感悟“无限多、无限逼近”思想.如教学“圆的认识”时,学生画了几条对称轴后,我问这样的对称轴画得完吗?有的说画不完,有的说这么小的圆应该画得完吧.于是我让学生继续画,看到学生画得有些不耐烦了,再让他们观察课件演示“不断画”的画面 ,从而确信了“圆有无数条对称轴”.数学思想方法较数学知识有更大的抽象性和概括性,只有在教学过程中反复、长期地渗透,才能收到较好的效果.
3、渗透数学思想方法应注重系统性
数学思想方法的渗透要由浅入深,对数学思想方法的挖掘、理解和应用的程度,教师应作长远的规划.一般地,每一种数学思想方法总是随着数学知识的逐步加深而表现出一定的递进性,因而渗透时要体现出孕育、形成和发展的层次性.例如在组织学习“两位数加两位数”时,要体现出“化归”思想的孕育期：学生计算“36＋17”一般有“（30＋10）＋（6+7）、36＋10＋7、36＋4＋13、36＋20－3”等方法,从中看出学生已经有将复杂问题转化为简单问题的意识.在进行两位数乘除法的教学中,要逐步引导学生对此有较清晰的认识；在教学平行四边形面积公式的推导中,应启发学生自觉运用“化归”思想去确立新知学习的方法,平行四边形的面积可以通过分割、平移,转化为长方形的面积.这样,将表面无序的各个渗透点整合成了一个整体.
4、渗透数学思想方法应适时显性化
数学思想方法有一个从模糊到清晰、从未成形到成形再到成熟的过程.在教学中,思想方法何时深藏不露,何时显山露水,应审时度势,随机应变.一般而言,在低中年级的新授课中,以探究知识、解决问题为明线,以数学思想方法为暗线.但在知识应用、课堂小结或阶段复习时,根据需要,应对数学思想方法进行归纳和概括.小学高年级学生学习了一些基本的思想方法,可以直呼其名.如在学习“除数是小数的除法”时,先让学生尝试计算“6.75÷5.4”,不少学生一时想不出办法,此时我提示:如果除数是整数能算吗?学生顿时恍然大悟,发现可以利用“商不变性质”,将“除数是小数的除法”转化成为“除数是整数的除法”来解决,于是我即刻板书“转化”,这样开门见山让学生知道运用“转化”思想可以将有待解决的问题归结到已经解决的问题.
实践表明,以上策略是一个密切联系的有机整体,它们之间相互影响,相互促进.在教学中应抓住契机,适时地挖掘和提炼,促使学生去体验、运用思想方法,建立良好的认知结构和完善的能力结构.
二、小学数学教学中渗透数学思想方法的途径
1、在教学预设中合理确定
渗透数学思想方法,教师在进行教学预设时应抓住数学知识与思想方法的有效结合点,在教学目标中体现每个数学知识所渗透的数学思想方法.
如在概念教学中,概念的引入可以渗透多例比较的方法,概念的形成可以渗透抽象概括的方法,概念的贯通可以渗透分类的方法.在解决问题的教学中,通过揭示条件与问题的联系,渗透数学解题中常用的化归、数学模型、数形结合等思想.
有时某一数学知识蕴含了多种思想方法,教师可根据需要和学生的认知特点有所侧重,合理确定.例如上海市新教材将“运算定律、性质”整合在一起学习,就是要突出“归纳类比、数学结构”的思想方法,发展学生的直觉思维,促进学生的学习迁移,实现对“运算定律、性质”的完整认识.当然在学习过程中还要用到“观察,猜想,验证”等方法.只有在教学预设中确定了要渗透的主要数学思想方法,教师才会去研究落实相应的教学策略,怎样渗透?渗透到什么程度?把渗透数学思想方法纳入到教学目标（过程与方法）中,把数学思想方法的要求融入到备课的每一环节,减少教学中的盲目性和随意性.
2、在知识形成中充分体验
数学思想方法蕴含在数学知识之中,尤其蕴含于数学知识的形成过程中.在学习每一数学知识时,尽可能提炼出蕴含其中的数学思想方法,即在数学知识产生形成过程中,让学生充分体验.
如我在教学“角”的知识时,先让学生在媒体上观察“巨大的激光器发送了两束激光线”,然后由学生确定一点引出两条射线画角,感知角的“静止性”定义以及角的大小与所画边的长短无关的观念.再让学生用“两条纸片和图钉”等工具进行“造角”活动,不经意之间学生发现角可以旋转,并且随着两条纸片叉开的大小角又可以随意地变化.这样“角”便定义为“一条射线绕着它的端点旋转而成的”,这就是角的“运动性”定义,体现着运动和变化的数学思想.学生在“画角、造角”活动中经历了“角”的产生、形成和发展,从中感悟的数学思想是充分与深刻的.
数学思想方法呈现隐蔽形式.学生在经历知识形成的过程中,通过观察、实验、抽象、概括等活动体验到知识负载的方法、蕴涵的思想,那么学生所掌握的知识就是鲜活的、可迁移的,学生的数学素质才能得到质的飞跃
3、在方法思考中加强深究
处理数学内容要有一定的方法,但数学方法又受数学思想的制约.离开了数学思想指导的数学方法是无源之水、无本之木.因此在数学方法的思考过程中,应深究数学的基本思想.
如我在教学四年级“看谁算得巧”一课时,学生计算“1100÷25”主要采用了以下几种方法：①竖式计算 ②1100÷25＝（1100×4）÷（25×4）③1100÷25＝1100÷5÷5 ④1100÷25＝11×（100÷25） ⑤1100÷25＝1100÷100×4 ⑥ 1100÷25＝1000÷25＋100÷25.在学生陈述了各自的运算依据后,引导学生比较上述方法的异同,结果发现方法①是通法,方法②——⑥是巧法.方法②——⑥虽各有千秋,方法③、④、⑥运用了数的分拆,方法②属等值变换,方法⑤类似于估算中的“补偿”策略,但殊途同归,都是抓住数据特点,运用学过的运算定律、性质转化为容易计算的问题.学生对各种方法的评价与反思,就是去深究方法背后的数学思想,从而获得对数学知识和方法的本质把握.
新课程所倡导的“算法多样化”的教学理念,就是让学生在经历算法多样化的学习过程中,通过对算法的归纳与优化,深究背后的数学思想,最终能灵活运用数学思想方法解决问题,让数学思想方法逐步深入人心,内化为学生的数学素养.
4、在问题解决中精心挖掘
在数学教学中,解题是最基本的活动形式.任何一个问题,从提出直到解决,需要具体的数学知识,但更多的是依靠数学思想方法.因此,在数学问题的探究发现过程中,要精心挖掘数学的思想方法.
如我在教学三年级“植树问题”时,首先呈现：在一条100米长的路的一侧,如果两端都种,每2米种一棵,能种几棵?面对这一挑战性的问题,学生纷纷猜测,有的说种50棵,有的说种51棵.到底有几棵?我们能否从“种2、3棵……”出发,先来找一找其中的规律呢?随着问题的抛出,学生陷入了沉思.如果把你们的一只手5指叉开看作5棵树,每两棵树之间就有一个“间隔”（板书）,一共有几个间隔?学生若有所思地回答是4个.如果种6棵、7棵……,棵数与间隔的个数有怎样的关系呢?于是我启发学生通过动手摆一摆、画一画、议一议,发现了在两端都种时棵数和间隔数之间的数量关系（棵数＝间隔数+1）,顺利地解决了上述问题.然后又将问题改为“只种一端、两端不种时分别种几棵”,学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案.以上问题解决过程给学生传达这样一种策略：当遇到复杂问题时,不妨退到简单问题,然后从简单问题的研究中找到规律,最终来解决复杂问题.通过这样的解题活动,渗透了探索归纳、数学建模的思想方法,使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用.
因此,教师对数学问题的设计应从数学思想方法的角度加以考虑,尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题,并注意在解决问题之后引导学生进行交流,深化对解题方法的认识.
5、在复习运用中及时提炼
数学思想方法随着学生对数学知识的深入理解表现出一定的递进性.在课堂小结、单元复习和知识运用时,教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动,反思自己是怎样发现和解决问题的,运用了哪些基本的思想方法等,及时对某种数学思想方法进行概括与提炼,使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质,提升课堂教学的价值.
如我在教学五年级“平面图形的面积复习”时,让学生写出各种平面图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和菱形）的面积计算公式后提问：这些计算公式是如何推导出来的?每位同学选择1～2种图形,利用学具演示推导过程,然后在小组内交流.交流之后我又指出：你能将这些知识整理成知识网络吗?当学生形成知识网络后,再次引导学生将这些平面图形面积计算公式统一为梯形的面积计算公式.通过以上活动,深化了对“化归”思想的理解,重组了学生已有的认知结构,拓展了数学思维,数学思想方法作为数学认知结构形成的核心起到了重要的组织作用.
同时在教学中,如果只满足于对数学思想的感悟和体验,还不足以肯定学生已领会了所用的数学思想方法.只有当学生将某一思想方法应用于新的情境,能够解决其他有关问题并有所创意时,才能肯定学生对这一数学方法有了较为深刻的认识.如学生对乘法有了初步认识,我就让他们把“6＋6＋6＋3”改写成简便的算式.大多数学生做出了“3×6＋3”与“4×6－3”的改写,但有个别学生写出了“3×7”的算式.其运算之巧妙,思路之独特,对于一个二年级小朋友而言,是难能可贵的.其次,当学生的创造力正处于某种良好的准备状态时,教师应不失时机地诱导他们去创造性解题.如在学生掌握长方体、正方体的体积计算之后,我呈现一块不规则的橡皮泥,要求学生尝试不同的方案计算体积.学生经过独立思考与合作交流,找到三种解决方案：①先捏成长方体或正方体,再计算 ②浸没在长方体水槽中,计算上升部分水的体积 ③称出橡皮泥的重量,再除以每立方厘米橡皮泥的重量（比重）.解决方案的获得来自于学生对“化归”思想的主动运用,然后予以进一步提炼,使数学思想方法在知识能力的形成过程中共同生成.
从以上实践不难看出,如果把教师的教学预设看作教学渗透的前期把握,那末数学知识的形成过程、数学方法的思索过程、问题解决的发现过程以及复习运用的归纳过程就是学生形成数学思想方法的源泉.学生在学习过程中要自己去体验、深究、挖掘、提炼,从中揣摩和感受数学思想方法,形成自身的数学思考方法,提高分析问题、解决问题的能力.
三、问题与思考
美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想方法,能使数学更易于理解和记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”.在小学数学教学中教师应站在数学思想方法的高度,以数学知识为载体,兼顾小学生的年龄特点,把握时机、及时渗透数学思想方法,引导学生主动运用数学思想方法的意识,促进学生学习数学知识和掌握思想方法地均衡发展,为他们后继学好数学打下扎实的基础.
但在教学实践研究中,我又面临着如下问题与思考：
1、新课程将数学思想方法纳入到“知识与技能”这一教学目标范畴,丰富了数学知识的内涵.但在小学阶段的“内容和要求”中,对渗透数学思想方法的教学要求略显笼统,没有明确细化为适合不同学段学生的具体渗透内容与要求,并形成系列,这给教师的教学把握带来一定困难.
2、对于小学生数学学习的评价、目前仍偏重于传统意义上的“双基”,体现与运用数学思想方法的数学问题偏少,不利于考察教师渗透数学思想方法的教学效果和学生的数学素养,对于学生应用数学思想方法促进数学思维活动的创新意识的评价有待于进一步的探索.
3、小学数学知识比较浅显,但蕴含着丰富的数学思想方法,如何处理好数学知识教学和思想方法渗透之间的关系,以至形成适合不同学段学生进行数学思想方法渗透的教学模式,应作深入的思考与实践.
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