设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为π8的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a1a5=______．

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设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为π8的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a1a5=______．

2022-07-30 17:20:13 17次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设函数f（x）=2x-cosx，{a_n}是公差为
π
8
的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，则[f（a₃）]²-a₁a₅=______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵f（x）=2x-cosx，
∴可令g（x）=2x+sinx，∵{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π
∴g（a₁-

π

2

）+g（a₂-

π

2

）+…+g（a₅-

π

2

）=0，则a₃=

π

2

，a₁=

π

4

，a₅=

3π

4

∴[f（a₃）]²-a₁a₅=π²-

π

4

•

3π

4

=

13π2

16

，
故答案为：

13π2

16

由f（x）=2x-cosx，又{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，可求得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=10a₃，由题意可求得a₃，从而进行求解．

本题考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．

考点点评：本题考查数列与三角函数的综合，求得cosa₃=0，继而求得a₃是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题．

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