设a，b，c为正实数，求证：1a3+1b3+1c3+abc≥23．

大家查题吧

2000万题库，覆盖所有考试类目，免费查题

今日已更新 12074 道题

首页 > 中学数学试题 > 题目详情

设a，b，c为正实数，求证：1a3+1b3+1c3+abc≥23．

2022-06-05 22:40:04 20次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设a，b，c为正实数，求证：
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥2
3
．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥3

3

1

a3

•

1

b3

•

1

c3

，
即

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

≥

3

abc

，
所以，

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥

3

abc

+abc，
而

3

abc

+abc≥2

3

abc

•abc

=2

3

，
所以，

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

先根据平均值不等式证明

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥

3

abc

+abc，再证

3

abc

+abc≥2

3

abc

•abc

＝2

3

．

本题考点：平均值不等式；不等式的证明．

考点点评：本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数

a1+a2+…+an

n

大于或等于它们的几何平均数

n	a1•a2…an

．

本题链接：