对于区间[m，n]，定义n-m为区间[m，n]的长度，若函数f（x）=ax2-2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上

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对于区间[m，n]，定义n-m为区间[m，n]的长度，若函数f（x）=ax2-2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上

2022-11-16 11:48:13 13次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

对于区间[m，n]，定义n-m为区间[m，n]的长度，若函数f（x）=ax²-2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥1成立，则实数a的最小值为______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

要使函数f（x）=ax²-2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥1成立，只需要|f(

1

a

−1)−f(

1

a

)|≥1恒成立
∵f（x）=ax²-2x+1=a(x−

1

a

)2−

1

a

+1
∴|f(

1

a

−1)−f(

1

a

)|＝|a|≥1
∵a＞0
∴a≥1
∴实数a的最小值为1
故答案为：1

要使函数f（x）=ax²-2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥1成立，只需要|f(

1

a

−1)−f(

1

a

)|≥1恒成立，从而可求实数a的最小值

本题考点：函数恒成立问题；区间与无穷的概念．

考点点评：本题以新定义为素材，考查对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将问题转化为|f(

1

a

−1)−f(

1

a

)|≥1恒成立

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