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数学奥林匹克高中训练题_86考试试题及答案
1:
若对任意的长方体A,都存在一个与A等高的长方体B,使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于λ,则λ的取值范围是( )。 A. λ>0 B. 0<λ≤1 C. λ>1 D. λ≥1......
2:
已知分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上任一点。若的最小值为8a,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )。 A. (1, 3] B. (1,2] C. [2,3] D. [3,十∞)......
3:
已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点成中心对称图形,且满足。那么,f(1)+f(2)+...+f(2006)的值是( )。 A. 1 B. 2 C. -1 D. -2......
4:
设函数(a>0,且a≠1)的反函数为,函数y=g(x)的图像与的图像关于点(a,0)对称。 (1)求函数y=g(x)的解析式。 (2)是否存在实数a,使得当时,恒有成立?若存在,求出a的取值范围;若不.........
5:
设P为圆上一定点,点Q、R在该圆的内部或圆周上,且△PQR是边长为的正三角形。则的最小值是______。......
6:
如果存在1,2,...,n的一个排列,使得都是完全平方数,就称n为“中数”。那么,在集合{15,17,2006}中,是中数的元素共有______个。......
7:
如图,半球O的半径为R,它的内接长方体的一个面ABCD在半球O的底面上。则该长方体所有棱长之和的最大值是______。......
8:
设m、n都是正整数。若关于x的方程有实数解,则m、n应满足的条件是______。......
9:
甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛,双方1号队员先赛,负者被淘汰;然后负方的2号队员再与对方的胜者比赛,负者又被淘汰。一直进行下去,直到有一方队员全部被淘汰,则可宣布另一方获胜。假设.........
10:
如图,O、A、B是平面上三点,向量,在平面AOB上,P是线段AB垂直平分线上任意一点,向量且,则 ______.......
11:
已知集合S={1,2,3,4,5,6},一一映射f:S→S满足条件:对于任意的x∈S,有f(f(f(x)))=x。则满足条件的映射f的个数是( )。 A. 81 B. 80 C. 40 D. 27......
12:
已知,且x+y+z=1。如果x、y、z中没有一个数大于另一个数的2倍,那么,乘积xyz的最小值是( )。 A. B. C. D.......
13:
设,其中,记是满足不等式的最大整数T。则下列4个数中与最接近的是( )。 A. 2006 B. 2005 C. 1006 D. 1005......
14:
计算机屏幕上显示了一个98×98的棋盘,将棋盘用通常方法染色(即两种颜色相间地染)。一个人能够拖动鼠标选择一个边框为棋盘线的矩形,然后点击鼠标,这个框内所有的颜色变色(即白变黑、黑变白)。问至少要点击.........
15:
给定正数λ和正整数n(n≥2)。求最小的正数M(λ),使得对于所有非负实数有.......
16:
如图,设P是△ABC内一点,使得∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC。 又设分别是△APB、△APC的内心。求证:直线交于一点。......
17:
已知抛物线的焦点为F,过F作两条互相垂直的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M、N。 (1)求证:直线MN必过定点; (2)分别以AB和CD为直径作圆,求两圆相交弦中点H的轨迹方程。......
18:
设k(k≥3)个正整数依次成等比数列。求证:当时,这个等比数列的公比q必为正整数。......
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