已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.(1)求证:以AB为直径的圆过坐标系的原点O;(2)当△OAB的面积等于10时,求k的值.
2021-05-28 82次 反馈错误 加入收藏 正确率 : 100%
题目内容:
已知抛物线y
2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.
(1)求证:以AB为直径的圆过坐标系的原点O;
(2)当△OAB的面积等于
时,求k的值.
优质解答
(1)证明:由题意可得方程组,
消去x可得ky2+y-k=0,
设A(x1,y1)B(x2,y2)由韦达定理可得y1•y2=-1,
∵A、B在抛物线y2=-x上,
∴y12=-x1,y22=-x2,y12y22=x1x2,
∵kOA•kOB===-1;
∴OA⊥OB,
故以AB为直径的圆过坐标系的原点O.
(2) 设直线与x轴交于N,又k≠0,
∴令y=0,则x=-1,即N(-1,0),
∵S△OAB=S△OAN+S△ONB
=•|ON|•|y1|+•|ON|•|y2|
=|ON|•|y1-y2|,
∴S△OAB=×1×
=•=,
解得k=±.
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