已知:正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长AA1=2, (1)E为棱CC1的中点,求证:B1D1⊥AE;(2)求:二面
2020-09-20 143次 反馈错误 加入收藏 正确率 : 100%
题目内容:
已知:正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1,棱长AA
1=2,
(1)E为棱CC
1的中点,求证:B
1D
1⊥AE;
(2)求:二面角C-AE-B的平面角的正切值;
(3)求:点D
1到平面EAB的距离.
优质解答
(1)证明:连接A1C1,
∵AA1⊥平面A1C1,
∴A1C1是AE在平面A1C1上的射影,
在正方形A1B1C1D1中,B1D1⊥A1C1
∴B1D1⊥AE
(2)连接BD交AC于O,过B点作BF⊥AE交AE于F,连接OF
∵EC⊥平面AC在正方形ABCD中,BD⊥AC,∴BD⊥平面ACE
∴OF是BF在平面EAC上的射影,∴AE⊥FO∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角
在正方形ABCD中,BO=AO=AC=
在Rt△ACE中,AE=3,∵△AOF∽△AEC,
∴=
∴OF==
在Rt△BOF中,tan∠BFO==3
(3)过C1作C1G⊥BE交BE的延长线于G,∵AB⊥平面BC1,G1G⊂平面BC1,
∴AB⊥C1G,∴C1G⊥平面ABE,
∵D1C1∥AB,D1C1⊄平面ABE,
∴D1C1∥平面ABE,
∴D1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离
∵△C1GE∽△BCE,
∴C1G:C1E=BC:BE,
∴C1G==
∴D1到面ABE的距离等于
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