题目内容：

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为3的正方体，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1．

（1）求证：E，B，F，D₁四点共面；
（2）若点G在BC上，BG=

2

3

，点M在BB₁上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC₁B₁；
（3）用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成锐二面角大小，求tanθ．

优质解答

（1）证明：在DD₁上取一点N使得DN=1，
连接CN，EN，显然四边形CFD₁N是平行四边形，所以D₁F∥CN，
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，又
BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以
CN∥BE，所以D₁F∥BE，所以E，B，F，D₁四点共面；
（2）因为GM⊥BF所以△BCF∽△MBG，
所以

MB

BC

＝

BG

CF

，即

MB

3

＝

2 3

2

，所以MB=1，因为AE=1，
所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB₁又平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁
，且EM在平面ABB₁A₁内，所以EM⊥面BCC₁B₁；
（3）EM⊥面BCC₁B₁，所以EM⊥BF，EM⊥MH，GM⊥BF，
所以∠MHE就是截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成锐二面角的平面角，
∠EMH=90°，所以tanθ＝

ME

MH

，ME=AB=3，△BCF∽△MHB，
所以3：MH=BF：1，BF=

22+32

＝

13

，
所以MH=

3

13

，所以tanθ＝

ME

MH

=

13

．