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已知函数f(x)=loga1−mxx−1(a>0,a≠1)的图象关于原点对称.(1)求m的值;(2)判断函数f(x)在(
题目内容:
已知函数f(x)=loga1−mx x−1
(a>0,a≠1)的图象关于原点对称.
(1)求m的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.优质解答
(1)∵函数f(x)=loga1−mx x−1
(a>0,a≠1)的图象关于原点对称
∴函数为奇函数,满足f(-x)+f(x)=0,即loga1+mx −x−1
+loga1−mx x−1
=0对定义域内任意x都成立,
即loga(1+mx −x−1
•1−mx x−1
)=loga1,1−m2x2 1−x2
=1对定义域内任意x都成立,
∴m2=1,得m=±1,经检验m=1不符合题意舍去,所以m的值为-1;
(2)当0<a<1时,f(x)是(1,+∞)的增函数;当a>1时,f(x)是(1,+∞)的减函数,证明如下
由(1)得f(x)=loga1+x x−1
,(x>1)
设t=1+x x −1
,再令1<x1<x2,则t1=1+x1 x1−1
,t2=1+x2 x2−1
,
可得t1-t2=1+x1 x1−1
-1+x2 x2−1
=2(x2−x1) (x1−1)(x2−1)
>0,有t1>t2,
∴函数t=1+x x−1
是(1,+∞)上的减函数.
根据复合函数单调性法则,得:当0<a<1时,f(x)是(1,+∞)的增函数;
当a>1时,f(x)是(1,+∞)的减函数.
1−mx |
x−1 |
(1)求m的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.
优质解答
1−mx |
x−1 |
∴函数为奇函数,满足f(-x)+f(x)=0,即loga
1+mx |
−x−1 |
1−mx |
x−1 |
即loga(
1+mx |
−x−1 |
1−mx |
x−1 |
1−m2x2 |
1−x2 |
∴m2=1,得m=±1,经检验m=1不符合题意舍去,所以m的值为-1;
(2)当0<a<1时,f(x)是(1,+∞)的增函数;当a>1时,f(x)是(1,+∞)的减函数,证明如下
由(1)得f(x)=loga
1+x |
x−1 |
设t=
1+x |
x −1 |
1+x1 |
x1−1 |
1+x2 |
x2−1 |
可得t1-t2=
1+x1 |
x1−1 |
1+x2 |
x2−1 |
2(x2−x1) |
(x1−1)(x2−1) |
∴函数t=
1+x |
x−1 |
根据复合函数单调性法则,得:当0<a<1时,f(x)是(1,+∞)的增函数;
当a>1时,f(x)是(1,+∞)的减函数.
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