已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=15f（2），f（5）f（14）成等比数列，设an=f（n），（n∈N*）（1）

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**已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=15f（2），f（5）f（14）成等比数列，设an=f（n），（n∈N*）（1）**

2022-10-19 20:26:15 15次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=15f（2），f（5）f（14）成等比数列，设a_n=f（n），（n∈N^*）
（1）求T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
（2）设b_n=2ⁿ，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）设f（x）=ax+b，（a≠0），
由f（8）=15f（2），f（5），f（14）成等比数列得8a+b=15①，
f²（5）=f（2）•f（14）得（5a+b）²=（2a+b）（14a+b）得到：3a²+6ab=0，
∵a≠0，
∴a=-2b②，
由①②得a=2，b=-1，
∴f（x）=2x-1，
∴a_n=2n-1，显然数列{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列
∴

i＝1

ai═a1+a2+…+an＝

n(1+2n−1)

＝n2．
（2）∵a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ∴s_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2s_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹
-s_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2³•（2^n-1-1）-（2n-1）2ⁿ⁺¹
∴s_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6

（1）根据题意，可设f（x）=ax+b；利用f²（5）=f（2）•f（14）得到a与b的值，确定出f（x）即可得到a_n为等差数列，利用等差数列求和的方法得到T_n即可；
（2）求出a_nb_n的通项，表示出s_n，求出它的二倍即相反数，相加即可得到s_n的通项．

本题考点：等比数列的性质；等差数列的前n项和；数列的求和．

考点点评：考查学生等比数列的性质掌握的能力，等差数列求和公式的运用能力，运用方法求数列和的能力．

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